CAPITOLO 2

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Sistemi di riferimento per la rappresentazione del moto

Posizioni e riferimenti sulla superficie della Terra

Per la descrizione del moto di corpi a bassa velocità e vicini alla Terra si usa solitamente un sistema di riferimento geocentrico rotante ovvero solidale alla Terra. Questo sistema di riferimento può essere di due tipi :

Sistema di riferimento ortogonale :

Origine nel centro della Terra.
Asse z diretto secondo l'asse di rotazione terrestre (verso la stella polare)
Asse x nel piano equatoriale diretto verso il meridiano di Greenwich.
Asse y nel piano equatoriale diretto di conseguenza, per formare una terna destra.

 

In coordinate cartesiane la posizione dell’oggetto è definita dalla terna Pº [xp,yp,zp]. Un tale sistema di coordinate cartesiano viene riportato anche con l’acronimo ECEF (Earth Centered Earth Fixed).

Sistema di riferimento sferico :

Origine nel centro della Terra.
Asse z di rotazione diretto secondo l'asse di rotazione terrestre (verso la stella polare)
Angolo geocentrico sul piano equatoriale dal meridiano di Greenwich al meridiano del punto P che denota la longitudine Lp.
Angolo geocentrico dall’equatore al punto P che denota la latitudine Fp.
Distanza radiale Rp dal centro della Terra o altezza hp sulla superficie della Terra.

In coordinate sferiche la posizione dell’oggetto è definita dalla terna Pº [xp,yp,zp].

Mentre il primo sistema di riferimento viene usato prettamente come sistema di riferimento di trasnsizione per la trasformazione di coordinate da un sistema di riferimento all’altro, il secondo viene soprattutto usato nella navigazione per la facilità di utilizzare localmente le informazioni derivanti dalla terna [Lp,Fp, hp]. Infatti il sistema di riferimento sferico è localmente ortogonale e localmente diretto verso Est, Nord, zenith.

Un ulteriore sistema di riferimento valido solo localmente è quello che viene usato per la localizzazione di un oggetto celeste rispetto alla posizione dell’osservatore. Questo sistema di riferimento è basato sulla direzione verticale locale e sulla direzione del nord locale :

Origine nella posizione dell’osservatore.
Asse z diretto secondo la verticale locale.
Elevazione ep che individua l’arco di cielo tra l’orizzonte e il punto P.
Azimuth ap che individua l’arco di cielo tra il nord locale e il meridiano celeste passante per P contata positiva dal Nord verso Est.
Distanza Rp in linea d’aria tra il punto P e l’osservatore.

 

I riferimenti dati non sono inerziali in quanto ruotanti in modo non trascurabile attorno ad un asse. Per lo studio del moto è opportuno semplificare i calcoli dalle accelerazioni fittizie riferendosi a sistemi di riferimento inerziali o quasi inerziali, come si vedrà nel prossimo paragrafo.

Sistemi di riferimento geocentrico ed eliocentrico

A seconda del grado di precisione scelto, si può considerare la scelta di un differente sistema di riferimento inerziale. Per il moto di un satellite o di un razzo intorno alla Terra si sceglie un sistema di riferimento geocentrico con assi diretti verso le stelle fisse mentre per un satellite su traiettoria interplanetaria è opportuno scegliere un sistema di riferimento eliocentrico con assi diretti verso le stelle fisse. La definizione dei due sistemi di riferimento è la seguente:

Sistema di riferimento geocentrico ( detto Pseudoinerziale):

Origine nel centro della Terra.
Asse x nel piano dell'eclittica diretto verso la costellazione dell'Ariete ovvero dell’equinozio di Primavera.
Asse z diretto secondo l'asse di rotazione terrestre (verso la stella polare)
Asse y di conseguenza, per formare una terna destra.

 

Il sistema di riferimento geocentrico cartesiano viene indicato anche con l’acronimo ECI (Earth Centered Inertial).

Sistema di riferimento eliocentrico:

Origine nel centro di massa del sistema solare.
Asse x nel piano dell'eclittica diretto verso la costellazione dell'Ariete ovvero dell’equinozio di Primavera.
Asse z diretto normale al piano dell'orbita terrestre.
Asse y di conseguenza, per formare una terna destra.

 

Gli assi X e x risultano quindi sempre paralleli mentre gli assi y e z risultano ruotati rispettivamente rispetto a Y e Z di 23.27°, ossia il valore dell'inclinazione del piano equatoriale della Terra rispetto al piano dell’orbita.

Il sistema di riferimento eliocentrico cartesiano viene indicato anche con l’acronimo SCI (Sun Centered Inertial).

TRASFORMAZIONI DI COORDINATE TRA I VARI SISTEMI di riferimento

La trasformazione delle coordinate tra un sistema di riferimento e un altro necessita spesso di essere mediata dalla trasformazione su sistemi di riferimento intermedi. Ad esempio, la gerarchia che si può dedurre in una delle trasformazioni che possono aver luogo tra due sistemi di riferimento qualsiasi può essere la seguente :

Locale + sferico à ECEF à ECI à SCI

In questo paragrafo non si terrà in considerazione l’effetto della asfericità della Terra, che richiederebbe l’uso di un sistema di coordinate ellittico piuttosto che sferico.

Consideriamo innanzitutto il passaggio da Locale ad ECEF. Per prima cosa bisogna trasformare da coordinate sferiche [a ,e ,D] a coordinate locali cartesiane REN (Raggio - Est - Nord) [xR ,xE , xN] disposte come in figura,

realizzabile attraverso la seguente trasformazione :

Poi si può passare dal sistema cartesiano locale al sistema ECEF, attraverso due matrici di rotazione dipendente dalla posizione [L ,F ] dell’osservatore O:

L’aggiunta di R nella formula di trasformazione di coordinate necessita per tenere in conto del fatto che il sistema di coordinate REN si trova ad una distanza R dal centro della Terra.

Il passaggio dal sistema di riferimento ECEF a quello ECI richiede invece la sola conoscenza della rotazione Q attuale della Terra rispetto alla terna inerziale ECI. Tale rotazione viene determinata attraverso la seguente formula :

Q = Q 0 + w E ( t - t0 )

in cui Q 0 è la rotazione della Terra al tempo di riferimento t0, t è il tempo attuale, w E è la velocità di rotazione della Terra, pari a 7292115.1467× 10-11 rad s-1.

La matrice di rotazione necessaria per questa trasformazione è data dalla seguente equazione :

L’ultimo passaggio consiste nella trasformazione da coordinate ECI a coordinate SCI.

Per fare ciò è necessario tener conto dell’inclinazione i dell’asse di rotazione della Terra (e quindi del sistema di riferimento ECI) rispetto al piano dell’orbita terrestre che funge da piano di riferimento per tutto il sistema solare. Bisogna quindi ruotare le coordinate ECI rispetto all’asse xeci e poi traslare il risultato per tenere conto della posizione della Terra rispetto al Sole, data dalla Longitudine Solare L S e dalla distanza dal sole dS (si trascura l’inclinazione dell’orbita terrestre rispetto a quella di riferimento). La formula di trasformazione dipende quindi dai tre parametri i, L S, d:

Per la determinazione dei valori di L S e d si possono consultare le effemeridi della Terra presenti in molti testi oppure ricavarli dalle costanti orbitali della Terra.

 

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