I riferimenti dati non sono inerziali in quanto ruotanti in
modo non trascurabile attorno ad un asse. Per lo studio del moto è opportuno
semplificare i calcoli dalle accelerazioni fittizie riferendosi a sistemi di
riferimento inerziali o quasi inerziali, come si vedrà nel prossimo paragrafo.
Sistemi di riferimento geocentrico ed eliocentrico
A seconda del grado di precisione scelto, si può considerare
la scelta di un differente sistema di riferimento inerziale. Per il moto di un
satellite o di un razzo intorno alla Terra si sceglie un sistema di riferimento geocentrico
con assi diretti verso le stelle fisse mentre per un satellite su traiettoria
interplanetaria è opportuno scegliere un sistema di riferimento eliocentrico
con assi diretti verso le stelle fisse. La definizione dei due sistemi di
riferimento è la seguente:
Sistema di riferimento geocentrico ( detto Pseudoinerziale):
| Origine nel centro della Terra. |
| Asse x nel piano dell'eclittica diretto verso la costellazione dell'Ariete
ovvero dell’equinozio di Primavera. |
| Asse z diretto secondo l'asse di rotazione terrestre (verso la stella
polare) |
| Asse y di conseguenza, per formare una terna destra. |
Il sistema di riferimento geocentrico cartesiano viene
indicato anche con l’acronimo ECI (Earth Centered Inertial).
Sistema di riferimento eliocentrico:
| Origine nel centro di massa del sistema solare. |
| Asse x nel piano dell'eclittica diretto verso la costellazione dell'Ariete
ovvero dell’equinozio di Primavera. |
| Asse z diretto normale al piano dell'orbita terrestre. |
| Asse y di conseguenza, per formare una terna destra. |
|
Gli assi X e x risultano quindi sempre paralleli mentre gli
assi y e z risultano ruotati rispettivamente rispetto a Y e Z di 23.27°, ossia
il valore dell'inclinazione del piano equatoriale della Terra rispetto al piano
dell’orbita.
Il sistema di riferimento eliocentrico cartesiano viene
indicato anche con l’acronimo SCI (Sun Centered Inertial).
TRASFORMAZIONI DI COORDINATE TRA I VARI SISTEMI di
riferimento
La trasformazione delle coordinate tra un sistema di
riferimento e un altro necessita spesso di essere mediata dalla trasformazione
su sistemi di riferimento intermedi. Ad esempio, la gerarchia che si può
dedurre in una delle trasformazioni che possono aver luogo tra due sistemi di
riferimento qualsiasi può essere la seguente :
Locale + sferico à
ECEF à ECI à
SCI
In questo paragrafo non si terrà in considerazione l’effetto
della asfericità della Terra, che richiederebbe l’uso di un sistema di
coordinate ellittico piuttosto che sferico.
Consideriamo innanzitutto il passaggio da Locale ad ECEF. Per
prima cosa bisogna trasformare da coordinate sferiche [a
,e ,D] a coordinate locali cartesiane REN
(Raggio - Est - Nord) [xR ,xE , xN] disposte
come in figura,
|
realizzabile attraverso la seguente trasformazione :
Poi si può passare dal sistema cartesiano locale al sistema
ECEF, attraverso due matrici di rotazione dipendente dalla posizione [L
,F ] dell’osservatore O:
L’aggiunta di R nella formula di trasformazione di
coordinate necessita per tenere in conto del fatto che il sistema di coordinate
REN si trova ad una distanza R dal centro della Terra.
Il passaggio dal sistema di riferimento ECEF a quello ECI
richiede invece la sola conoscenza della rotazione Q
attuale della Terra rispetto alla terna inerziale ECI. Tale rotazione viene
determinata attraverso la seguente formula :
Q
= Q
0 + w E
( t - t0 )
in cui Q 0 è
la rotazione della Terra al tempo di riferimento t0, t è il tempo
attuale, w E è la velocità di
rotazione della Terra, pari a 7292115.1467×
10-11 rad s-1.
La matrice di rotazione necessaria per questa trasformazione
è data dalla seguente equazione :
L’ultimo passaggio consiste nella trasformazione da
coordinate ECI a coordinate SCI.
Per fare ciò è necessario tener conto dell’inclinazione i
dell’asse di rotazione della Terra (e quindi del sistema di riferimento ECI)
rispetto al piano dell’orbita terrestre che funge da piano di riferimento per
tutto il sistema solare. Bisogna quindi ruotare le coordinate ECI rispetto all’asse
xeci e poi traslare il risultato per tenere conto della posizione
della Terra rispetto al Sole, data dalla Longitudine Solare L
S e dalla distanza dal sole dS (si trascura l’inclinazione
dell’orbita terrestre rispetto a quella di riferimento). La formula di
trasformazione dipende quindi dai tre parametri i, L
S, dS :
Per la determinazione dei valori di L
S e dS si possono consultare le effemeridi della
Terra presenti in molti testi oppure ricavarli dalle costanti orbitali della
Terra.