CAPITOLO 4
Descrizione Vettoriale dell’orbita di un satellite
INTRODUZIONE
Uno dei metodi che possono essere usati per la descrizione e il calcolo dell’orbita di un satellite si fonda sul calcolo
vettoriale. Il successo di tale metodo si ritrova nella maggiore semplicità delle notazioni impiegate e soprattutto sulla semplicità di implementazione del calcolo vettoriale nei nuovi linguaggi di programmazione ad alto livello dedicati come il MATLAB. Il presente capitolo sarà sviluppato nell’ottica di tale
implementazione.
Equazioni vettoriali fondamentali
Nel seguito, una serie di formule fondamentali verranno
elencate, minimizzando i passaggi matematici che portano alla loro
determinazione. Per la loro manipolazione, è di fondamentale importanza la formula detta di Poisson, per il calcolo della derivata di un vettore di modulo e direzione
variabile.
|
(4.1 |
In questa equazione w indica la velocità di rotazione del vettore r.
Nel seguito, in grassetto saranno denotate le grandezze vettoriali mentre i versori saranno indicati con il il simbolo ^.
Equazione fondamentale dell’astrodinamica
La soluzione del problema dei due
corpi, nel caso siano entrambi a simmetria sferica, è data dalla formula che segue:
|
(4.2 |
Questa formula costituisce l’equazione fondamentale dell’astrodinamica. Può essere
riscritta, in termini di derivate prime, come indicato nel seguente sistema di equazioni differenziali del primo
ordine:
|
(4.3) |
In questa forma, le equazioni differenziali si prestano meglio ad una loro utilizzazione in un algoritmo di integrazione
numerica.
Integrale primo del momento della
quantità di moto
Moltiplicando vettorialmente la
(4.2) per r si ha:
|
(4.4 |
Il primo membro può essere così
riscritto:
Con questo
risultato, usando la
(4.4), si ottiene:
|
(4.5 |
Questa formula prende il nome di equazione della conservazione del momento della
q.d.m. ed è valida solo come soluzione del problema dei due corpi. Il vettore k, indicato con il nome di vettore del momento della
qdm, ha direzione normale rispetto al piano che contiene l’orbita e può essere pertanto utilizzato per
individuarla.
Integrale primo di
Hamilton
Si vogliono determinare ulteriori indicatori in grado di individuare il moto del satellite nel piano dell’orbita. Moltiplicando quindi la
(4.2) vettorialmente per il vettore k, ortogonale al piano dell’orbita, si
ottiene:
che rappresenta, a meno di una
costante, la proiezione della
(4.2) nel piano dell’orbita. Il primo membro può essere modificato come segue:
|
(4.6 |
essendo k
costante.
Per il secondo membro si può scrivere, essendo k = w r2:
|
(4.7 |
avendo nell’ultimo passaggio utilizzato la formula di Poisson
(4.1).
Dalle (4.6) e (4.7), si ottiene infine:
ovvero
|
(4.8 |
Il vettore e viene comunemente indicato con il nome di Integrale Primo di Hamilton e, insieme al vettore k, può essere utilizzato per individuare completamente l’orbita di un satellite. Tale vettore ha inoltre la proprietà di avere modulo pari all’eccentricità dell’orbita e direzione l’asse maggiore dell’orbita, diretto dal corpo generatore del campo gravitazionale al pericentro dell’orbita, come è indicato nella figura 2.1.
|
Come è mostrato nella
figura, introducendo il vettore p ortogonale ad e e k, è possibile formare la terna destra epk, che può essere utilizzata come comoda terna di
riferimento, rispetto alla quale l’orbita ha una espressione canonica ed è contenuta interamente nel piano ep. Il vettore p prende il nome dalla circostanza che è diretto proprio come il semilato retto dell’ellisse.
Dati i vettori e e k non sono individuati però tutti e sei parametri necessari per identificare lo stato attuale di un satellite. Intuitivamente ciò si può spiegare dal fatto che e ed k definiscono solo orientazione e forma dell’ellisse mentre l’anomalia reale attuale è indipendente da questi
vettori. Matematicamente, ciò si spiega dalla non indipendenza tra k ed e,
essendo:
Questa equazione implica un vincolo scalare corrispondente al fatto che uno
scalare, l’anomalia appunto, è di valore ignoto.
Espressione vettoriale della velocità
A partire dai vettori e, k ed il valore attuale di r è possibile determinare il valore attuale della velocità vettoriale v. Riscrivendo infatti la
(4.8) come segue,
e moltiplicando vettorialmente per k, si
ottiene, ricordando che k ·
dr/dt= 0:
Þ |
|
(4.9) |
Questa formula è particolarmente utile per l’impostazione di algoritmi numerici per l’integrazione delle equazioni del moto del satellite.
ESEMPI DI APPLICAZIONE
Proprietà dell’orbita in corrispondenza dei punti estremi
Dati i vettori e e k che definiscono
completamente le proprietà dell’orbita, utilizzando le relazioni elencate nel
precedente capitolo, è possibile determinare posizione e velocità di alcuni
punti caratteristici dell’orbita.
Velocità e posizione del satellite nel pericentro
Dalla (4.9), scritta in corrispondenza del pericentro, dove
il versore di r è uguale al versore di e, si ottiene:
Þ |
|
(4.11 |
Per quanto riguarda la posizione, moltiplicando
vettorialmente la (4.5) per il vettore velocità, si ottiene:
|
da cui, utilizzando la (4.11), si ricava:
|
Þ |
Þ |
|
(4.12) |
Velocità e posizione del satellite nell’apocentro
Adottando lo stesso procedimento usato per il pericentro, si
ricavano per la velocità e la posizione, le seguenti formule:
|
(4.13) |
|
(4.14 |
Ovviamente, le formule (4.13) e (4.14) hanno senso solo nel
caso in cui e £
1, essendo l’apocentro di una traiettoria iperbolica un punto puramente
immaginario. È interessante notare comunque che, per una traiettoria iperbolica, la soluzione nell’apocentro rappresenta la velocità e la
posizione di un satellite nel caso in cui agisca una forza repulsiva anzichè
attrattiva da parte del pianeta.
Semiasse
maggiore dell’orbita
Determinati i punti estremi dell’orbita, si può facilmente
ricavare il vettore a che rappresenta il semiasse dell’orbita in
funzione di k e di e, essendo tale vettore dato dalla
semidifferenza dei vettori che definiscono pericentro e apocentro:
|
Þ |
|
(4.15)
|
Questa relazione resta valida anche nel caso di traiettorie
di tipo iperbolico.
Semilato retto
dell'orbita
Il semiasse maggiore dell’orbita non fornisce indicazioni
quando l’orbita che percorre il satellite è parabolica. Si ricorre pertanto
al semilato retto, il cui vettore è immediatamente ricavabile dalla geometria
delle coniche:
Determinazione delle
caratteristiche di un'orbita a partire dai dati di posizione
e velocità
Data la posizione e la velocità di un’orbita, utilizzando
le relazioni fondamentali dell’astrodinamica, è possibile ricavare tutte le
informazioni necessarie ad individuare univocamente le caratteristiche dell’orbita
nel suo piano:
| a: Semiasse maggiore dell’ellisse |
| e: Eccentricità dell’orbita |
| q : Posizione attuale del
satellite sull’orbita. |
A tale scopo, è conveniente utilizzare le relazioni (4.5) e
(4.8) con le quali, determinati i vettori k ed e, la geometria
della traiettoria è perfettamente individuata. Con riferimento alle quattro
traiettorie presentate nel capitolo 2, a partire dai valori di velocità e
posizione rilevati dopo 600 sec del passaggio al perigeo, riportati nella
tabella che segue:
|
Orbita 1 |
Orbita 2 |
Orbita 3 |
Orbita 4 |
Posizione (m): r (x,y,z) |
5.3106·106
4.0851·106
0 |
5.5018·106
4.8317·106
0 |
5.5441·106
5.5659·106
0 |
5.6064·106
6.6757·106
0 |
Velocità (m/sec): v (x,y,z) |
-4.6993·103
6.1090·103
0 |
-4.1261·103
7.9454·103
0 |
-3.8612·103
9.2962·103
0 |
-3.4992·103
1.1369·104
0 |
Come si può dedurre dalla forma dei vettori posizione e
velocità delle quattro orbite, si tratta di traiettorie appartenenti al piano
xy. Applicando sui vettori r e v la relazione (4.5) si ricava
infatti che il vettore momento della qdm k è parallelo all’asse z:
|
Orbita 1 |
Orbita 2 |
Orbita 3 |
Orbita 4 |
k
= r ´ v (m2/sec)
(x,y,z) |
0
0
5.1639·1010 |
0
0
6.3650·1010 |
0
0
7.3030·1010 |
0
0
8.7100·1010 |
Tale prodotto vettoriale può essere realizzato con la
funzione VProd del MATLAB usando la seguente sintassi:
k = VProd(r,v);
essendo gli argomenti della funzione i vettori r e v
associati alle rispettive orbite.
Di grande interesse è invece la relazione (4.8) che permette, utilizzando un solo prodotto vettoriale ed una
somma, di determinare l’eccentricità
dell’orbita insieme all’orientamento dell’orbita nel piano
|
Orbita 1 |
Orbita 2 |
Orbita 3 |
Orbita 4 |
(x,y,z) |
0
0
0 |
0.51928
0
0 |
1
0
0 |
1.845
0
0 |
In questo caso abbiamo che le tre orbite (tranne l’orbita 1
che ha asse maggiore indeterminato) hanno asse maggiore parallelo all’asse x a
causa del fatto che le quattro orbite erano state scelte con parametri tali da
poter essere messe a confronto. Questa somma può essere realizzata con l’ausilio
della funzione VProd descritta in precedenza e della funzione VVers, quest’ultima
da utilizzare per calcolare il versore di un vettore:
rv = VVers(r);
e = -rv -(VProd(k,v))/mu;
essendo rv
il versore e mu
la costante gravitazionale terrestre m
.
Per quanto riguarda la posizione del satellite, individuata
dall’angolo q
formato dal vettore r e il vettore e (essendo k il vettore
che individua secondo quale verso l’angolo deve essere ritenuto positivo), si
ha il seguente risultato, ricavato direttamente dai versori ed .
|
Orbita 1 |
Orbita 2 |
Orbita 3 |
Orbita 4 |
|
Indet. |
0.72064 |
0.78736 |
0.87224 |
Ovviamente, per l’orbita 1, non esistendo il pericentro, l’anomalia
reale risulta indeterminata.
Per il calcolo dell’anomalia reale, come per qualsiasi
altro angolo tra due vettori, è sufficiente utilizzare l’istruzione VAng,
alla quale vanno indicati i due vettori più un terzo vettore, a questi normale,
che fornisce l’orientamento per l’angolo positivo:
theta = VAng(e,r,k);
Infine, il semiasse maggiore dell’orbita può essere
determinato a partire dalla relazione (4.15):
|
Orbita 1 |
Orbita 2 |
Orbita 3 |
Orbita 4 |
|
Indet. |
1.3927·107
0
0 |
+ ¥
0
0 |
-7.9289·106
0
0 |
Per l’orbita 3, il semiasse maggiore non fornisce
indicazione sulle sue dimensioni. È opportuno pertanto, calcolarne il semilato
retto:
|
Orbita 3 |
|
0
1.9061·107
0 |
|