CAPITOLO 4

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Descrizione Vettoriale dell’orbita di un satellite

INTRODUZIONE

Uno dei metodi che possono essere usati per la descrizione e il calcolo dell’orbita di un satellite si fonda sul calcolo vettoriale. Il successo di tale metodo si ritrova nella maggiore semplicità delle notazioni impiegate e soprattutto sulla semplicità di implementazione del calcolo vettoriale nei nuovi linguaggi di programmazione ad alto livello dedicati come il MATLAB. Il presente capitolo sarà sviluppato nell’ottica di tale implementazione.

Equazioni vettoriali fondamentali

Nel seguito, una serie di formule fondamentali verranno elencate, minimizzando i passaggi matematici che portano alla loro determinazione. Per la loro manipolazione, è di fondamentale importanza la formula detta di Poisson, per il calcolo della derivata di un vettore di modulo e direzione variabile.

(4.1

In questa equazione w indica la velocità di rotazione del vettore r.

Nel seguito, in grassetto saranno denotate le grandezze vettoriali mentre i versori saranno indicati con il il simbolo ^.

Equazione fondamentale dell’astrodinamica

La soluzione del problema dei due corpi, nel caso siano entrambi a simmetria sferica, è data dalla formula che segue:

(4.2

Questa formula costituisce l’equazione fondamentale dell’astrodinamica. Può essere riscritta, in termini di derivate prime, come indicato nel seguente sistema di equazioni differenziali del primo ordine:

(4.3)

In questa forma, le equazioni differenziali si prestano meglio ad una loro utilizzazione in un algoritmo di integrazione numerica.

Integrale primo del momento della quantità di moto

Moltiplicando vettorialmente la (4.2) per r si ha:

(4.4

Il primo membro può essere così riscritto:

Con questo risultato, usando la (4.4), si ottiene:

(4.5

Questa formula prende il nome di equazione della conservazione del momento della q.d.m. ed è valida solo come soluzione del problema dei due corpi. Il vettore k, indicato con il nome di vettore del momento della qdm, ha direzione normale rispetto al piano che contiene l’orbita e può essere pertanto utilizzato per individuarla.

Integrale primo di Hamilton

Si vogliono determinare ulteriori indicatori in grado di individuare il moto del satellite nel piano dell’orbita. Moltiplicando quindi la (4.2) vettorialmente per il vettore k, ortogonale al piano dell’orbita, si ottiene:

che rappresenta, a meno di una costante, la proiezione della (4.2) nel piano dell’orbita. Il primo membro può essere modificato come segue:

(4.6

essendo k costante.

Per il secondo membro si può scrivere, essendo k = w r2:

(4.7

avendo nell’ultimo passaggio utilizzato la formula di Poisson (4.1).

Dalle (4.6) e (4.7), si ottiene infine:

ovvero

(4.8

Il vettore e viene comunemente indicato con il nome di Integrale Primo di Hamilton e, insieme al vettore k, può essere utilizzato per individuare completamente l’orbita di un satellite. Tale vettore ha inoltre la proprietà di avere modulo pari all’eccentricità dell’orbita e direzione l’asse maggiore dell’orbita, diretto dal corpo generatore del campo gravitazionale al pericentro dell’orbita, come è indicato nella figura 2.1.

Come è mostrato nella figura, introducendo il vettore p ortogonale ad e e k, è possibile formare la terna destra epk, che può essere utilizzata come comoda terna di riferimento, rispetto alla quale l’orbita ha una espressione canonica ed è contenuta interamente nel piano ep. Il vettore p prende il nome dalla circostanza che è diretto proprio come il semilato retto dell’ellisse.

Dati i vettori e e k non sono individuati però tutti e sei parametri necessari per identificare lo stato attuale di un satellite. Intuitivamente ciò si può spiegare dal fatto che e ed k definiscono solo orientazione e forma dell’ellisse mentre l’anomalia reale attuale è indipendente da questi vettori. Matematicamente, ciò si spiega dalla non indipendenza tra k ed e, essendo:

k · e = 0

Questa equazione implica un vincolo scalare corrispondente al fatto che uno scalare, l’anomalia appunto, è di valore ignoto.

Espressione vettoriale della velocità

A partire dai vettori e, k ed il valore attuale di r è possibile determinare il valore attuale della velocità vettoriale v. Riscrivendo infatti la (4.8) come segue,

e moltiplicando vettorialmente per k, si ottiene, ricordando che k · dr/dt= 0:

Þ (4.9)

Questa formula è particolarmente utile per l’impostazione di algoritmi numerici per l’integrazione delle equazioni del moto del satellite.

ESEMPI DI APPLICAZIONE

Proprietà dell’orbita in corrispondenza dei punti estremi

Dati i vettori e e k che definiscono completamente le proprietà dell’orbita, utilizzando le relazioni elencate nel precedente capitolo, è possibile determinare posizione e velocità di alcuni punti caratteristici dell’orbita.

Velocità e posizione del satellite nel pericentro

Dalla (4.9), scritta in corrispondenza del pericentro, dove il versore di r è uguale al versore di e, si ottiene:

Þ (4.11

Per quanto riguarda la posizione, moltiplicando vettorialmente la (4.5) per il vettore velocità, si ottiene:

da cui, utilizzando la (4.11), si ricava:

Þ
Þ (4.12)

  

Velocità e posizione del satellite nell’apocentro

Adottando lo stesso procedimento usato per il pericentro, si ricavano per la velocità e la posizione, le seguenti formule:

(4.13)
(4.14

Ovviamente, le formule (4.13) e (4.14) hanno senso solo nel caso in cui e £ 1, essendo l’apocentro di una traiettoria iperbolica un punto puramente immaginario. È interessante notare comunque che, per una traiettoria iperbolica, la soluzione nell’apocentro rappresenta la velocità e la posizione di un satellite nel caso in cui agisca una forza repulsiva anzichè attrattiva da parte del pianeta.

Semiasse maggiore dell’orbita

Determinati i punti estremi dell’orbita, si può facilmente ricavare il vettore a che rappresenta il semiasse dell’orbita in funzione di k e di e, essendo tale vettore dato dalla semidifferenza dei vettori che definiscono pericentro e apocentro:

Þ

(4.15)

Questa relazione resta valida anche nel caso di traiettorie di tipo iperbolico.

Semilato retto dell'orbita

Il semiasse maggiore dell’orbita non fornisce indicazioni quando l’orbita che percorre il satellite è parabolica. Si ricorre pertanto al semilato retto, il cui vettore è immediatamente ricavabile dalla geometria delle coniche:

Determinazione delle caratteristiche di un'orbita a partire dai dati di posizione e velocità

Data la posizione e la velocità di un’orbita, utilizzando le relazioni fondamentali dell’astrodinamica, è possibile ricavare tutte le informazioni necessarie ad individuare univocamente le caratteristiche dell’orbita nel suo piano:

a: Semiasse maggiore dell’ellisse
e: Eccentricità dell’orbita
q : Posizione attuale del satellite sull’orbita.

A tale scopo, è conveniente utilizzare le relazioni (4.5) e (4.8) con le quali, determinati i vettori k ed e, la geometria della traiettoria è perfettamente individuata. Con riferimento alle quattro traiettorie presentate nel capitolo 2, a partire dai valori di velocità e posizione rilevati dopo 600 sec del passaggio al perigeo, riportati nella tabella che segue:

 

Orbita 1

Orbita 2

Orbita 3

Orbita 4

Posizione (m): r (x,y,z)

5.3106·106
4.0851·106
0

5.5018·106
4.8317·106
0

5.5441·106
5.5659·106
0

5.6064·106
6.6757·106
0

Velocità (m/sec): v (x,y,z) 

-4.6993·103
6.1090·103
0

-4.1261·103
7.9454·103
0

-3.8612·103
9.2962·103
0

-3.4992·103
1.1369·104
0

Come si può dedurre dalla forma dei vettori posizione e velocità delle quattro orbite, si tratta di traiettorie appartenenti al piano xy. Applicando sui vettori r e v la relazione (4.5) si ricava infatti che il vettore momento della qdm k è parallelo all’asse z:

 

Orbita 1

Orbita 2

Orbita 3

Orbita 4

k = r ´ v (m2/sec) (x,y,z)

0
0
5.1639·1010

0
0
6.3650·1010

0
0
7.3030·1010

0
0
8.7100·1010

Tale prodotto vettoriale può essere realizzato con la funzione VProd del MATLAB usando la seguente sintassi:

k = VProd(r,v);

essendo gli argomenti della funzione i vettori r e v associati alle rispettive orbite.

Di grande interesse è invece la relazione (4.8) che permette, utilizzando un solo prodotto vettoriale ed una somma, di determinare l’eccentricità dell’orbita insieme all’orientamento dell’orbita nel piano

 

Orbita 1

Orbita 2

Orbita 3

Orbita 4

(x,y,z)

0
0
0

0.51928
0
0

1
0
0

1.845
0
0

In questo caso abbiamo che le tre orbite (tranne l’orbita 1 che ha asse maggiore indeterminato) hanno asse maggiore parallelo all’asse x a causa del fatto che le quattro orbite erano state scelte con parametri tali da poter essere messe a confronto. Questa somma può essere realizzata con l’ausilio della funzione VProd descritta in precedenza e della funzione VVers, quest’ultima da utilizzare per calcolare il versore di un vettore:

rv = VVers(r);

e = -rv -(VProd(k,v))/mu;

essendo rv il versore e mu la costante gravitazionale terrestre m .

Per quanto riguarda la posizione del satellite, individuata dall’angolo q formato dal vettore r e il vettore e (essendo k il vettore che individua secondo quale verso l’angolo deve essere ritenuto positivo), si ha il seguente risultato, ricavato direttamente dai versori ed .

 

Orbita 1

Orbita 2

Orbita 3

Orbita 4

Indet.

0.72064

0.78736

0.87224

Ovviamente, per l’orbita 1, non esistendo il pericentro, l’anomalia reale risulta indeterminata.

Per il calcolo dell’anomalia reale, come per qualsiasi altro angolo tra due vettori, è sufficiente utilizzare l’istruzione VAng, alla quale vanno indicati i due vettori più un terzo vettore, a questi normale, che fornisce l’orientamento per l’angolo positivo:

theta = VAng(e,r,k);

Infine, il semiasse maggiore dell’orbita può essere determinato a partire dalla relazione (4.15):

 

Orbita 1

Orbita 2

Orbita 3

Orbita 4

Indet.

1.3927·107
0
0

+ ¥
0
0

-7.9289·106
0
0

Per l’orbita 3, il semiasse maggiore non fornisce indicazione sulle sue dimensioni. È opportuno pertanto, calcolarne il semilato retto:

 

Orbita 3

0
1.9061·107
0

 

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