CAPITOLO 3

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Classificazione dell’orbita di un satellite utilizzando considerazioni energetiche.

Classificazione energetica.

Il tipo di orbita che un satellite può percorrere attorno alla terra è fortemente legato all’energia totale che un satellite possiede in relazione alla quantità di energia minima e massima necessaria per rimanere in orbita.

In questo paragrafo saranno calcolati questi livelli di energia e presentati alcuni risultati numerici relativi a satelliti appartenenti alle diverse categorie energetiche.

Livelli energetici

Caratteristica importante di un’orbita sono l’energia totale E, costante per un punto materiale lungo tutta la sua orbita, l’energia cinetica T e quella potenziale V, variabili periodicamente e dipendenti dalla distanza del punto dalla Terra.

Per m<<M l’energia potenziale V per unità di massa è immediatamente calcolabile e risulta pari a:       

Numericamente, l’energia potenziale vale, alla superficie terrestre:

VTmin = - 6.23·107

Nel grafico è riportato l’andamento dell’energia potenziale di un punto di massa unitaria calcolata in funzione della distanza dalla superficie terrestre.

L’energia cinetica di un satellite per unità di massa è data, semplicemente, dall’espressione comunemente usata per un punto materiale:

T = 1/2 v2

A seconda del tipo di orbita, l’espressione che fornisce il valore istantaneo dell’energia cinetica in funzione della distanza dalla Terra, sarà più o meno complessa. Il caso di orbita circolare, il più semplice, sarà il primo ad essere esaminato.

Orbita circolare

Dalla condizione di costanza della velocità areolare S = r 2 / 2 = h / 2, valida per ogni orbita soluzione del problema dei due corpi, si ha la seguente uguaglianza:      

Dalla condizione di orbita circolare, essendo sempre il semilato retto p pari alla distanza r , si ha h2 = m p = m r :        

Essendo l’energia totale la somma dell’energia cinetica più quella potenziale, si ha che l’energia totale per un’orbita circolare risulta essere pari a:  

Per la velocità del satellite si ha, allora:

Nelle figure che seguono, sono riportati gli andamenti dell’energia totale, potenziale e cinetica per un satellite che descrive un’orbita circolare e la velocità con la quale il satellite descrive la sua orbita, in funzione della distanza del satellite dal centro della Terra.

Nel secondo grafico viene riportato anche l’andamento della velocità nel caso che la Luna sia il pianeta generatore del campo gravitazionale.

Orbita non circolare

Si consideri ora un’orbita non circolare. È noto dalla soluzione del problema dei due corpi che la distanza del satellite dalla Terra è data dalla funzione:

Si ha allora, per l’energia potenziale,

Per l’energia cinetica, con la solita ipotesi di satellite di piccola massa (m << MT) e usando le formule note dalla soluzione del problema dei due corpi, si ha:

essendo e r le componenti della velocità in direzione radiale e normale al raggio, come mostrato nella figura che segue.

Sommando, si ottiene l’espressione per l’energia totale associata ad un’orbita eccentrica:

A partire da questi risultati, è possibile dedurre dei livelli di energia totale critici che delimitano i valori dell’energia necessaria affinchè un satellite si possa immettere in orbita ovvero percorra una traiettoria non periodica.

Traiettoria periodica: Orbita ellittica

La formula che fornisce la distanza del satellite r in funzione dell’anomalia reale q , soluzione del problema dei due corpi, mostra una evidente singolarità nel caso in cui l’eccentricità e non è negativa. In tutti gli altri casi in cui e < 1, la traiettoria è evidentemente periodica ed ellittica, essendo

l’espressione di un’ellisse in coordinate circolari. In quanto tale, mostra le seguenti caratteristiche:

a semiasse maggiore;
b = a ( 1 - e2 )1/= semiasse minore;
p = a ( 1 - e2 ) = semilato retto;
rp = a ( 1 + e ) = apogeo;
ra = a ( 1 - e ) = perigeo;

L’energia totale, così come per ogni tipo di traiettoria, può essere riscritta come segue:

Ne segue che l’energia totale è minima per rp = rT ed e = 0 (traiettoria circolare). A tale valore corrisponde la quantità di energia cinetica minima che il satellite (in condizioni ideali di assenza di atmosfera) deve possedere per essere in orbita attorno alla Terra:

Dal punto di vista temporale, l’eccentricità dell’orbita condiziona fortemente anche il periodo di permanenza del satellite su un dato emisfero. Posto che il periodo di percorrenza dell’orbita è dato da:

(si osservi che questa formula esprime analiticamente quanto enunciato dalla terza legge di Keplero) e conoscendo l’equazione di Keplero che lega l’anomalia eccentrica a quella temporale:

volendo determinare l’intervallo di tempo in cui il satellite percorre l’area contrassegnata nella figura con A,

si cerca innanzitutto il valore dell’anomalia eccentrica u che corrisponde al valore qp/2:

Il valore cercato del periodo di tempo TA impiegato per descrivere l’area A è dato dalla formula seguente:

Nel grafico che segue è mostrato l’andamento del rapporto tra il periodo TA e il periodo TOrbita in funzione dell’eccentricità e.

Come è possibile vedere, all’aumentare del valore dell’eccentricità, cresce la porzione di tempo che il satellite nella porzione di orbita che contiene l’apogeo. Questa proprietà delle orbite eccentriche è specialmente usata nel caso del progetto di satelliti che devono sostare per una porzione di tempo considerevole al di sopra di un dato punto (satelliti quasi-geostazionari).

Nella serie di figure in fondo al capitolo, le energie caratteristiche di un satellite in orbita ellittica con e = 0.5193 sono confrontate con quelle relative ad un satellite in orbita circolare, parabolica o iperbolica.

Traiettoria non periodica: Orbita parabolica e iperbolica

Posto che l’equazione soluzione del problema dei due corpi è ancora valida per le traiettorie aperiodiche:

in questo paragrafo mostreremo tutte le caratteristiche di maggiore importanza, enunciandole dapprima per le iperboli, considerando la traiettoria parabolica come un caso limite.

Come noto, la condizione necessaria affinchè un satellite abbia una traiettoria non periodica è che la sua energia totale E sia non negativa, ovvero che la sua eccentricità sia maggiore o uguale ad 1. Da questa condizione, due velocità caratteristche di ogni campo gravitazionale possono essere ricavate, ossia:

Seconda velocità cosmica (anche detta Velocità di fuga): Velocità corrispondente alla condizione E = 0, ossia di orbita parabolica

essendo m la costante gravitazionale terrestre e rp la distanza di perigeo del satellite. Questa velocità si può facilmente ricavare dall’equazione dell’energia .

Terza velocità cosmica (anche detta Eccesso Iperbolico): Velocità residua posseduta da un satellite in traiettoria iperbolica a distanza infinita dal corpo che genera il campo gravitazionale

essendo a il semiasse reale dell’iperbole. Questa velocità è facilmente ricavabile dall’equazione dell’energia, ponendo T = E - V(¥ ) = E.

Altre proprietà delle traiettorie iperboliche possono essere facilmente ricavate. Ad esempio, l’angolo che i due asintoti dell’iperbole formano tra di loro (vedi in figura)

è dato dall’anomalia reale quando r ® +¥ . In tal caso infatti,

1 + e cos q¥ ® 0 Þ q¥ = arcos(1/e)

Da questo si ricava l’angolo d formato dai due asintoti, detto angolo di deflessione:

Un altro parametro di notevole importanza è la distanza indicata nella figura con il simbolo D , detto parametro di collisione:

I parametri d e D sono particolarmente importanti nel progetto di un fly-by di un satellite con un pianeta. Posta la limitazione verso il basso di D dovuta alle dimensioni del pianeta con cui si effettua il fly-by, sono da fissare il parametro a (semiasse reale dell’iperbole) che come è noto è legato al valore della velocità relativa v¥ e l’angolo di deflessione d , quest’ultimo strettamente legato alla direzione che il satellite deve avere dopo l’incontro con il pianeta.

Nella serie di figure in fondo al capitolo, le energie caratteristiche di un satellite in orbita parabolica o iperbolica con e = 1.845 sono confrontate con quelle relative ad un satellite in orbita circolare o ellittica.

Figura X - Orbite di un satellite generate a partire dal punto O con velocità differenti:

Orbita circolare Vc = 7707.3 m/s ® e = 0
Orbita ellittica Ve = 9500 m/s ® e = 0.5193
Orbita parabolica Vp = 10900 m/s ® e = 1
Orbita iperbolica Vi = 13000 m/s ® e = 1.845

Ogni ‘+’ nella figura rappresenta la posizione assunta dal satellite dopo 600 sec. Le distanze riportate sugli assi coordinati sono in metri.

Figura XI - Energia potenziale del satellite la cui orbita è riportata nel grafico precedente.

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